建筑地基基础设计的地基计算理论

近代哲学的认识论有两大流派，唯理论和经验论。唯理论的代表人物是地球人都知道的笛卡尔坐标的那个笛卡尔，而经验论的代表是休谟，大家可能不熟悉，熟悉的是培根。唯理论基本脱离了人们对世界的经验完全用最初的公理演绎出了理论的大厦比如欧几里得几何学等，认为只有这个严密逻辑的推出的理论才是真理。而经验论认为人类的一切知识都必须来源于经验，只能从经验归纳出理论。唯理论的演绎的基础如何保证是真理呢？这也是经验论被唯理论攻击的弱点，唯理论只好把这些理论的基点说成是先验的，即无需证明就是正确的。而经验论认为一切东西都来源于经验，那人类如何穷尽经验呢？所以结论是世界上就根本不存在真理，从而发展到了极端的怀疑论。休谟甚至认为连因果关系也并不存在，是人类头脑自己产生的。“科学只能证伪不能证实”就是怀疑论的名言。

如果说地基科学中最符合理论定义的大概就是布辛内斯克理论解（J. Boussinesq）了。世界上没有一块地基完全符合这个解的理论，但不影响我们把他们当成真理，就像世界上不可能存在真正的直角三角形，但我们仍然认为勾股定理是真理一样。

     一：布辛内斯克理论解

岩土和结构工程师提到地基土的应力分布时，一定不能绕过布辛内斯克解，布氏理论是法国数学家J. Boussinesq1885年提出的，假定地基是半无限匀质的弹性体，作用一个集中力时，弹性体内部的应力分布。

见下图：

注：除注明外本文图形资料均来源于清华大学李广信的土力学和基础工程教材

结构工程师不必深入研读这个复杂的计算公式（已经做了很大的简化，详细的见文后附录），只理解其中的概念就行了。

（1）地基内会产生三个方向的正应力和三个方向的剪应力，我们最关注的是垂直方向上的压应力。

（2）随着深度的增加，应力越来越小。

（3）随着与作用点的水平距离越远，应力越小。

上述即所谓的应力扩散，见下图：

（3）值得注意的是离开集中力作用点的位置（见图中m处）从地面开始随着深度的增加应力先逐步增加 ，到一定深度后再随着深度的增加逐步减少。这个也很容易理解，地基表面是自由的，应力为零，随着应力的扩散会逐渐从零加大到一定程度，接着继续扩散越来越小。

知道了上述三点的概念，剩下的就是运用规范根据该理论推导出来并结合实际经验修正的计算方法了，我们继续谈。

  二：布氏解的推论

知道了一个点荷载的应力分布，利用积分原理就可以推导出很多不同形状的地面荷载下的地基内部的应力分布了（假定地面荷载为柔性荷载），例如：

（1）矩形面积的垂直均布荷载。这是大部分独立基础的地面荷载的形式。其推导得出的矩形某角点的应力的公式就是《地基规范》附录K的附加应力系数的计算依据。

知道了角点的附加应力系数，任何矩形荷载中的某一点做两条垂直先都可以分成四个矩形，得出每个矩形的角点应力再求和即可。矩形荷载以外的某点以下的地基内部应力计算也可以这样解决，只是有的矩形荷载是负值（大家可以看下土力学教材，很容易理解）。

（2）无限长条形荷载下的地基应力分布，先从直线的荷载分布（弗拉曼解）开始，再积分到无限长条形荷载的应力分布，这是一般条形基础等荷载的分布公式。

（3）圆形面积荷载的中心点下的地基的应力分布，同样可以通过积分推导出其圆心下某点的地基应力分布。

还有矩形面积和圆形面积竖向荷载是三角形荷载形式时的角点和中心点的应力分布的公式，《地基规范》的附录K给出了上述各种情况下的应力分布系数。

顺便说下，地面上某点受到水平荷载集中力的地基内部的应力分布解叫西罗提解，但我实在想不出规范在什么地方对这个理论的应用，所以略去不谈。

知道了地基土内的应力分布，再根据土的应变应力关系模量（变形模量、压缩模量等下期再谈），理论上就可以算出地基的沉降变形了。

   三：分层地基的布氏解应力分布的深度讨论

布氏解假定地基是匀质的弹性材料，得出的应力扩散分布和土的压缩特性没关系，只和地基土表面下某点的空间位置有关，但几乎所有的土都是分层的（不同的压缩模量），那不同的土层的扩散分布规律是否和其压缩模量有关或者和不土层的不同模量的比例有关呢？

过去我曾经有错误的认识，觉的土中应力的分布和土的性质关系不大，应力分布基本相同，只是土压缩特性太复杂了，造成即使同样的应力其沉降也是很大的不同。地基规范给出的附加应力系数也的确只和荷载形状、大小即某点在地基中的空间位置有关，也不能怨我理解的不对。只能说我理解的深度不够，不了解规范背后的内容，也就不会去从基本教材上寻找答案了。

实际上，地基土中的应力扩散的程度和不同土层压缩特性之间的比例关系相关的。

（1）当较软的土层在刚性土层上部时，上部土层中心轴处的压力较均质土层的大，轴线以外的土层压力小，这就是所谓的应力集中现象。见下图：

（2）当上部土层较硬，下部土层较软时，趋势是相反的，即所谓的应力扩散现象。见下图：

很多人不一定理解规范规定的软弱下卧层上部土层的应力扩散角的道理，原因就是这个。扩散角是和上下土层的模量比有关的，上面土层相对越硬，扩散程度越大，对下卧层越有利。见下图：

（4）从布氏解的公式可以看出，当地基土的压缩模量是完全相同即均匀的弹性体时，应力分布是和压缩模量没有关系的。但实际上即使完全相同的土层由于应力历史的原因，其压缩模量随着深度也是逐渐增大的。如果我们按分层来理解，即使完全相同的土层，上下土层的压缩模量也不同。从上述分析知道，实际分布和压缩模量随深度变化的比列（梯度）有关。

一般的土都是分层的，所以应力分布和布氏解不同，和土层之间的模量比例是有关。

如何理解呢这点呢？

我认为，如果假定两层不同压缩模量的均值材料，利用弹性材料力学理论（不是布氏公式）也可以得出精确的应力分布（包含模量参数的解）。同样假定一种土体模量深度按直线比例变大的弹性材料也可以用弹性力学理论得出一个理论公式，但这对工程师有多大意义呢？。实际的土体远远复杂于这个假定的分层，根本算不过来。规范采用的不考虑不同模量只考虑空间关系的附加应力系数是不得已而为之的办法（从软弱下卧层扩散角随模量比的不同而不同就可以看出来这一点）。 规范给出一个沉降计算修正系数，最小的居然到了0.2，说明不考虑土层模量变化的附加应力系数和实际的差距有多大了。

如果宏观的理解模量比的影响这个问题，我个人理解应该是下层土模量的变化导致了上层土变形的变化，从而改变了土体的剪切变形和剪切力，影响到了上层土体竖向应力的分散的快慢。

四：地基内部受力时应力分布的明德林解

大部分基础都深埋在地下，即荷载位于地基土的深处。对于均质半无限弹性体当一个集中力位于地面以下的某点时得出的地基土的应力分布叫明德林解。

见下图：

可以看出，布氏解是明德林解的特例。

目前一般的浅基础及天然地基筏基等沉降计算的附加应力系数（地基规范附录K）都用的是布氏解，而计算桩基础的沉降时，用的基本都是明德林解，实践证明都是是符合实际情况的。

从图中的3-46小图可以看出，基础有一定埋深时，布氏解大于明德林解，也算是规范给于的安全储备吧。

五：桩基础的沉降计算

尽管桩基础相对于一般的天然地基来说，沉降大为减少，但随着建筑物体量的增加以及对沉降要求的提高，很多时候桩基础也需要沉降计算，规范给出了两种计算方法即实体深基础法和明德林应力计算法。

（1）实体深基础法是把桩基范围内的桩和土体当成一个刚体基础，计算出这个刚体下端的总体荷载（建筑和刚体之和），再按规范给出的依据布氏解得出的附加应力系数对刚体以下的土层进行分层总和的沉降计算。

第一，要明白刚体要比较刚，规范规定桩间距不大于6d。

第二，要知道这个还是依据的浅基础的布氏解，应力计算相对于明德林解偏大，不过规范给出的桩基沉降经验调整系数把这些全包括进去了，我们工程师无问来历，只能使用了。

（2）明德林-盖得斯法

一个叫盖得斯（Geddes）的外国人（没查到国籍和公式的年代）根据桩的荷载特点，把桩的荷载分成了几个部分，桩端对土的集中力、桩侧阻对土的均布下拉力和三角形的下拉力三个部分见下图：

然后按明德林公式推导出每根桩对地基土的应力分布公式即为明德林-盖得斯公式。再对所有桩进行求和得出桩基的总应力分布，然后按分层综合法求出沉降再进行经验系数修正，这就是《地基规范》附录R给出的计算桩基沉降的明德林-盖得斯法。

很显然,桩基计算沉降用明德林-盖得斯法比布氏解的实体基础法更准确一些，但前者显然不是手算可以完成的，是给专门给计算机准备的。盖得斯那个年代未必就有计算机技术，但不妨碍他从概念上和理论上得出其公式，不过只能等到现代的计算机年代才可以应用于实践了。

     六：土力学的概念与实践

布氏解和明德林解是土力学少有的可以称为理论的理论之一(其它的土力学理论比如太沙基地基承载力公式等更像是经验和假定）。这个理论实际上是弹性材料力学的理论，只是半无限空间的弹性体只有地基才最接近。

这些理论我们只需理解其概念和方向即可，无需关心其具体的公式计算数据，因为这些理论与地基的实践实在是远远的脱离了。地基不是弹性的、更不是无限的，各向也是不同的、地基的压缩模量和泊松比也是难以确定的，但这个理论的概念或者说方向无疑是正确的。如果大家能够理解这篇文章，那正确理解地基规范沉降计算公式的原理和具体运用基本就没问题了。