水利投资优化数学模型

简介： 一个地区水利经济发展的速度和水平，不仅取决于总量达到了何等程度，而且还取决于一个地区结构转变模式的选择是否适当、转变的速率以及转变过程中各要素是否协调，即水利投资结构优化。
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一、水利投资的内涵及特性

　　水利投资是一定经济主体为了获取预期不确定的效益而将现期的一定收入转化为资本。水利投资的特性包括：一是投资效应的“供给时滞”性，二是投资实施的连续性与波动性，三是投资的周期性，四是投资主体的多样性，五是投资收益的不确定性。

　　二、水利投资要素及功能

　　水利管理是一项系统工程，研究水利投资结构的优化，首先要用系统的观点，去整体看待和专门研究水利。根据水利问题的性质和范围，正确确定特定的系统变量，建立与研究问题对应的子系统（一个流域或区域），从系统要素、结构、输出、输入、反馈和控制各方面进行分析研究，采用从定性到定量相结合的综合集成研究方法，同时自始至终地把任何子系统作为水利可持续发展系统的组成部分，从整体出发，组织、管理、协调控制各子系统，达到个体与整体，局部与全局的统一。

　　水利系统的要素应包括：水利工程，以工程措施保证水与人的和谐共处；人力，充分挖掘和使用水利管理系统的人力资源，以协调人、财、物的关系，实现其最优组合；体制，以开放、综合为特征，提高治水的效益；创新，不断以新的思想、技术、方法和手段，推进水利可持续发展。

　　水利的投入要素表现为工程、技术、管理、人员诸多方面。这些要素在水利管理系统中，具有一定的功能，因而在研究水利投资结构时，应着重考虑：一是水利系统整体功能的发挥；二是系统各要素功能的发挥以及要素间的相互协调。

　　三、水利投资优化数学模型

　　水利建设的工程体系包含防洪工程、水资源工程、水土保持及环境保护工程，各种工程具有不同的作用，且各类工程的经济效益和社会效益也各不相同。同时在每一类工程中又有具体的项目，各个项目的风险和收益各不相同。在总投入资金一定的情况下，要努力使总产出效益最大，这就要求对各类工程项目进行可行性分析，对多种投资组合方案进行比选，从而确定最科学的投资组合。从理论上讲，给定预期收益，有多种投资组合方案可以实现该预期收益。同样，给定预期风险，有无穷多种组合方案可以实现该预期风险。如果以预期收益Ｒ０为横坐标，方差σ２为纵坐标，则任一种可行组合方案惟一地确定出Ｒ０－σ２平面上的一个点，而所有可行的组合方案则确定出Ｒ０－σ２平面上的一个区域，称为有效集，记为Ｄ０。理性的投资者总希望，在已知一定风险条件下，获得最大期望收益，或者在已知期望收益条件下，使投资风险达到尽可能小。具有上述性质的投资组合，称为有效投资组合。所有的有效投资组合在Ｒ０－σ２平面上可确定出一段弧线，该弧线实际上就是可行集Ｄ的边界的一部分，称为有效边界。

　　如果投资者已确定了水利投资的ｎ个项目，各单个项目的投资收益率为ｒ，ｉ＝１，２，…ｎ。ｒｉ称为随机变量，其期望值和方差分别记为Ｒｉ和σｉｉ２可分别视为第ｉ个项目的盈利性指标和风险指标。设各单个项目投资额占总投资额的比例系数为ｗｉ，投资组合的收益为ｒ，则：

　　ｒ＝ｗ１ｒ１＋ｗ２ｒ２＋…＋ｗｎｒｎ （１）

　　记ｒ的期望值为Ｒ，则

　　Ｒ＝Ｅ（ｗ１ｒ１＋ｗ２ｒ２＋…＋ｗｎｒｎ）（２）

　　再设ｒｉ和ｒｊ的协方差为σｉｊ，协方差矩阵为Ｃ，则

　　设投资比例系数向量为：

　　Ｗ＝ｗ１＋ｗ２＋…＋ｗｎ Ｔ（４）

　　投资组合的收益率的方差可以表示为：

　　σ２＝ＷＴＣＷ（５）

　　在选择ｗｉ时，ｗｉ必须满足各投资比例系数之和为１这个约束条件，即：

　　记ｎ维列向量Ｆ＝１，１，……，１Ｔ，则上式也可以表示为：

　　ＦＴＷ＝１（７）

　　对一个稳健的投资者来说，总是希望投资组合的风险达到极小。这就要求在式（７）的约束条件下，确定投资比例系数向量Ｗ，使σ２达到极小。这时得到的投资比例系数向量称为最优化投资比例系数向量，记为ＷＡ。

　　这样，我们可用数学模型描述风险极小化问题：

　　这是一个二次规划问题，利用库恩—塔克条件可转化为以下方程组：

　　其中λ是标量，称为拉格郎日乘子。如果是正定矩阵，可得到最优投资比例系数向量和最优投资组合的方差分别是：

　　以上模型仅考虑了使风险极小。作为投资者当然也希望收益越高越好。但是，高收益往往伴随着高风险。这时投资者可以预先确定ｎ种收益水平，并计算出相应的风险水平，然后根据自己对收益的期望和对风险的承受能力，从中选择适当的投资组合方案。设预期收益率为Ｒ０，则必有Ｒ０＝ｗ１Ｒ１＋ｗ２Ｒ２＋…＋ｗｎＲｎ。另一个条件与前面一样，即ｗ１＋ｗ２＋…＋ｗｎ＝１，记以上两式可合写成ＡＷ＝Ｂ。

　　那么，这一问题的数学模型为：

　　同样可将以上二次规划转化为以下线性方程组求解：

　　在这里通常的秩为２，如果Ｃ正定，则ＡＣＡＴ非奇异。可求得最优投资比例系数向量和最优投资组合的方差，投资者就可以寻求具有预期收益率的投资的组合方案。

　　通过上述模型，在进行水利投资结构优化时就可以确定合理的各类工程的投资规模，在保证一定社会效益的前提下，实现水利投资的经济效益最大化和风险最小化。

　　四、结束语

　　水利投资结构，作为人类进行社会再生产过程中的资源配置方式，其决定因素是由各种不同的方面构成的：一个地区的自然条件、经济发展阶段、技术水平、资源配置的方式、对外开放度、经济体制、社会历史传统、人们的思维方式、思想观念都在不同程度上决定或影响这个地区的水利投资结构的形成和演化。这些因素的内部存在着一个相互制约、相互促进的体系。投资结构决定因素间的地位并非完全平等，事实上，也许正是各决定因素间的地位非平等化才使投资结构出现了区际差别，并因为有了这些差别才造成了水利投资结构的变化及其速率的不同。从总体上考察，水利投资结构的变化又受着这些因素的共同吸引，从而在水利投资结构变化的顺序上，变化的方向又存在着已经证实的共同性，因而，探索水利投资结构的决定因素，不但可以揭开水利投资结构形成与演化之谜，而且为塑造符合一般规律同时又切合地区具体情况的水利投资结构提供理论依据。

　　（作者单位：任黎为河海大学水文水资源及环境学院，王宏伟为江苏畜牧兽医职业技术学院）